Czuczay László középiskolai tanulmányait Budapesten a Kvassay Jenő Szakközépiskolában végezte 1977–1981 között. Érettségi után a Budapesti Műszaki Egyetem építőmérnöki karán tanult tovább és szerzett építőmérnöki diplomát.
1988. augusztus 1. óta dolgozik a MÁV pályafenntartási szolgálatánál. 1989–1990-ben pályamesterként, majd 1991-től szakaszmérnökként dolgozott több vonalszakaszon a veszprémi PFT Főnökségen.
1996–2016 között a Balaton északi partján vezető 29. vonal felügyeletét ellátó balatonfüredi főpályamesteri szakasz szakaszmérnöke volt. 2017-től a szombathelyi PFT Főnökség vezetőmérnöki beosztását tölti be.
Munkáját 2001-ben szakigazgatói dicsérettel, 2021-ben a „Vasút szolgálatáért” ezüst fokozattal ismerték el.