Az M tömegmátrix a modell egyes elemeire jellemző tömegjellegű (tömeg, tehetetlenségi nyomatékok) mennyiségeket tartalmazza. A D csillapítási mátrix a rendszer elemeinek sebességétől és szög a sebességétől függő erők (pl. egyes kúszási erők), az S rugalmassági mátrix pedig a rendszer elemeinek elmozdulásától és elfordulásától függő erők (pl. rugóerők) számításához szükséges információkat tartalmazza. A magyar szakirodalomban is találhatunk példát ilyen mozgásegyenlet-rendszerek felírására és megoldására [5], [6].
Meg kell említeni, hogy a mozgásegyenlet-rendszer másodrendű mátrix-dif­fe­renciálegyenletrendszerként kezelhető, amelyben Y az ismeretlen. Mivel a pálya–jármű rendszer jelentős nemlinearitásokat tartalmaz (pl. a Δr futókörsugár-kü­lönb­ség ugrásait – lásd az 1. ábrán), a problémát numerikus módszerekkel célszerű kezelni. Tapasztalataim szerint az Euler-módszerrel, tízezred másodperces időlépésközzel, már megfelelő pontosságú közelítő megoldás nyerhető jelentékeny nemlinearitások esetén is.
A modell által szolgáltatott elmozdulási függvényeknek adott azonos kezdeti kimozdí­tás esetében két jellemző alakjuk van (1. ábra): a középső ábrán a stabil, a jobb oldali ábrán az instabil keresztfutás látható. Stabil esetben a lokális pályahibát reprezentáló y = 2 mm kezdeti kitérítésre a kerékpár erősen csökkenő amplitúdójú (csillapodó) oszcilláló keresztkitéréssel válaszol, instabil esetben a kerékpár egy közel állandó – a kezdeti pályahiba nagyságától alapvetően független – amplitúdójú oszcilláló mozgást folytat.

A modell igen sok bemenő konstanst, illetve bemenő függvényt tartalmazhat. A csapágyvezetésnél ébredő erők alakításában szerepet játszik a kereszt- és hosszirányú rugóállandók (vagy a rugók nem­­lineáris karakterisztikája), illetve csillapítási tényezők (vagy karakterisztikák). A kerék és sín között ébredő kúszási erők és nyomatékok mindenkori pontos meghatározásához (ezáltal a csillapítási és merevségi mátrixok akár időben változó elemeinek meghatározásához) összetett számítások szükségesek, melyek kontaktmechanikai összefüggésekre és Kalker [7] munkásságára támaszkodnak. Ezeket most nem részletezzük, kiemeljük azonban a futókörsugárkülönbség-függvényt, mivel a pályafenntartási szakemberek számára ez kiemelkedő jelentőségű az instabilitás elkerülése szempontjából.

Az egyenértékű kúposság szerepe és jellemző értékei

A futókörsugár-különbség pillanatnyi ér­téke befolyásolja a fent említett kúszá­si erőket, így egy adott kerékpárnak a pálya egyes keresztmetszetein számított fu­tó­kör­su­gár­különbség-függvényei hatás­sal vannak a pálya–jármű rendszer kri­tikus sebességére, vagyis stabilitására. Egy futókörsugárkülönbség-függvény jel­lemzésére a gyakorlatban az egyenértékű kúposság szolgál. E lap hasábjain a korábbiakban már tárgyaltuk az egyenértékű kúposság fogalmát és mérésének körülményeit [8].
A MÁV Központi Felépítményvizsgáló Kft. az elmúlt években számos alkalommal végzett egyenértékű kúpossági vizsgálatot:
a) szabványos, kopásmentes kerékpárok szabványos, kopásmentes sínpárokkal,
b) szabványos, kopásmentes kerékpárok kopott sínpárokkal (2. ábra, ahol a szabványos kerékpár és kopott sínpár lehetséges érintkezési pontjai a keresztirányú kerékpár-elmozdulás milliméterben vett értékeihez vannak rendelve),
c) kopott kerékpárok szabványos, kopásmentes sínpárokkal,
d) kopott kerékpárok kopott sínpárokkal képzett futókörsugárkülönbség-függ­vé­nye­inek számítása útján. Az a) típusú vizsgálat elsősorban a pálya–jármű rendszer tervezői számára fontos. A b) típusú vizsgálatra vonatkozó megrendelés a pályafenntartási szakterületről érkezik. A c) típusú vizsgálatokat a járművek üzem közbeni megfelelőségének ellenőrzése indokolja. A d) típusú vizsgálat adott jármű adott pályaszakaszon észlelt instabil futásának elemzésére szolgál. Az Európai Unióban kötelező érvényű, pályákra [9] – és járművekre – vonatkozó átjárhatósági műszaki előírások határértékeket állapítanak meg a fenti vizsgálatokhoz, melyeket a vonatkozó szabvány [10] szerint kell elvégezni.

A gyakorlati tapasztalataink a d) típusú vizsgálatok esetében azt mutatták, hogy állandó haladási sebesség mellett a vizsgált, instabilitásra hajlamos járművek kizárólag ott futottak instabilan, ahol az egyenértékű kúposság nagysága egy adott értéket meghaladt. Ez azt jelenti, hogy lézeres sín­profilmérési eredmények irodai feldolgozásával és az egyenértékű kúpossági számítás segítségével előre becsülhetjük ismert járművek keresztfutás-dinamikai viselkedését az adott vonalszakaszon. Az egyenértékű kúposság tehát – bár a futókörsugárkülönbség-függvény alakját egyetlen számmal jellemzi – alkalmas futásstabilitási vizsgálatok lefolytatására.